Archimedisches Axiom

Das sogenannte archimedische Axiom ist nach dem antiken Mathematiker Archimedes benannt, es ist aber älter und wurde schon von Eudoxos von Knidos in seiner Größenlehre formuliert.^[1] In moderner Präzisierung lautet es folgendermaßen:

Zu je zwei Größen ${\displaystyle y>x>0}$ existiert eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n\cdot x>y}$.

Geometrisch lässt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die größere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug abträgt.

Eine geordnete Gruppe oder ein geordneter Körper, in welchem das Archimedische Axiom gilt, heißt archimedisch geordnet.

Für den Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen wird es manchmal axiomatisch eingeführt. Man kann allerdings mit den Axiomen eines geordneten Körpers und dem Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) beweisen, dass die reellen Zahlen archimedisch geordnet sind.

1. ↑ überliefert in: Euklid, Elemente V, Definition 4: Dass sie ein Verhältnis zueinander haben, sagt man von Größen, die vervielfältigt einander übertreffen.